Egy matematika érettségi feladat megoldása programozással 2024

érettségi logó

érettségi logóA 2024-es középszintű matematika érettségi feladatsorból az 12. feladata inspirált arra, hogy elkészítsem a grafikus ábrázolását Java nyelven. A korábbi Kígyókocka grafikus felületen esettanulmány kiváló alapot, „keretrendszert” adott a továbbfejlesztésre. Érdekes belegondolni, hogy mennyire más lehetne a problémamegoldás, ha programozhatnánk a matematika érettségi vizsgán. A teljes feladatsor letölthető az oktatas.hu-ról.

12. feladat

Egy piros, egy fekete és egy fehér szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a dobás eredménye három különböző szám lesz! Megoldását részletezze!

1. megoldás

A kedvező /összes eset száma ad választ a kérdésre. Az egymásba ágyazott ciklusok – i-j-k számhármasokként – előállítják az összes esetet. Ezek száma 216, rendre: 1-1-1, 1-1-2, …, 1-1-6, 1-2-1, …, 6-6-5, 6-6-6-ig. A összes eset között megtalálhatók a kedvező esetek. Ezek száma 120, rendre: 1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, 1-2-6, 1-3-2, 1-3-4, 1-3-5, 1-3-6, 1-4-2, 1-4-3, 1-4-5, 1-4-6, 1-5-2, 1-5-3, 1-5-4, 1-5-6, 1-6-2, 1-6-3, 1-6-4, 1-6-5, 2-1-3, 2-1-4, 2-1-5, 2-1-6, 2-3-1, 2-3-4, 2-3-5, 2-3-6, 2-4-1, 2-4-3, 2-4-5, 2-4-6, 2-5-1, 2-5-3, 2-5-4, 2-5-6, 2-6-1, 2-6-3, 2-6-4, 2-6-5, 3-1-2, 3-1-4, 3-1-5, 3-1-6, 3-2-1, 3-2-4, 3-2-5, 3-2-6, 3-4-1, 3-4-2, 3-4-5, 3-4-6, 3-5-1, 3-5-2, 3-5-4, 3-5-6, 3-6-1, 3-6-2, 3-6-4, 3-6-5, 4-1-2, 4-1-3, 4-1-5, 4-1-6, 4-2-1, 4-2-3, 4-2-5, 4-2-6, 4-3-1, 4-3-2, 4-3-5, 4-3-6, 4-5-1, 4-5-2, 4-5-3, 4-5-6, 4-6-1, 4-6-2, 4-6-3, 4-6-5, 5-1-2, 5-1-3, 5-1-4, 5-1-6, 5-2-1, 5-2-3, 5-2-4, 5-2-6, 5-3-1, 5-3-2, 5-3-4, 5-3-6, 5-4-1, 5-4-2, 5-4-3, 5-4-6, 5-6-1, 5-6-2, 5-6-3, 5-6-4, 6-1-2, 6-1-3, 6-1-4, 6-1-5, 6-2-1, 6-2-3, 6-2-4, 6-2-5, 6-3-1, 6-3-2, 6-3-4, 6-3-5, 6-4-1, 6-4-2, 6-4-3, 6-4-5, 6-5-1, 6-5-2, 6-5-3, 6-5-4.

A megszámolás programozási tétel előállítja a szükséges változókat, amik hányadosa megadja a szükséges p valószínűséget és ezt a program ki is írja a konzolra: A keresett valószínűség: 0.5555555555555556. Az esetek/lehetőségek felsorolása egyben a megoldás részletezése. A megszámoláshoz használt sokféle feltétel természetesen átfogalmazható lenne. Az egyszerűsítés többféleképpen is elvégezhető, többek között a De Morgan-azonosságok alkalmazásával.

2. megoldás

A korábbi JavaFX alapon megvalósított program módosításával könnyen állítható a megoldás grafikus/vizuális reprezentációja. Íme egy képernyőkép az elkészült program felhasználói felületéről:

A 3 db dobókockával kapott számhármasok 3D-ben, térbeli pontként jelennek meg egy kockában. A nagy piros gömbök jelölik azt a 6 db esetet, amikor mindhárom kockadobás megegyezik. Ezek a kocka egyik testálójában találhatók. A közepes narancssárga gömbök jelölik azt a 90 db lehetőséget, amikor bármely (pontosan) két kockadobás megegyezik. Végül a kis szürke gömbök jelölik a megoldást. Ez a 120 db kimaradó eset, másképpen: amikor mindhárom kockadobás különbözik. Másféle lehetőség nincs és megvan a 216 esethez tartozó összes gömb.

A megoldás implementálása a korábbi programban szinte csak egy metódus frissítését, kiegészítését igényelte. Ez a korábbi tudatos, objektumorientált, MVC szerkezetnek köszönhető és egyben a forráskód újrafelhasználása is. A createCube() metódus az alábbiak valósítja meg a feladatot:

A belépési pont, a grafikus felület építése, a nyomógombok eseménykezelése, a geometriai transzformációk, és persze a 3D -> 2D leképezés a megjelenítés során megmaradt. A virtuális térben elhelyezett objektumok változtak (pozíció, nézőpont, anyagtulajdonság). További részletes magyarázat érhető el a Kígyókocka grafikus felületen esettanulmányban.

3. megoldás

Itt most csak ötletet szeretnék mutatni. A 2022-es 6. feladat 3-7. kombinatorikai megoldásai könnyen továbbfejleszthetők és sokféle hasznos apróság gyakorolható.

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

Ajánljuk matematika érettségi feladat címkénket, mert a témában évről-évre blogolunk.

A feladat a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyam szakmai moduljának 5-8. óra: Vezérlési szerkezetek, 9-12. óra: Metódusok, rekurzió, valamint 17-28. óra: Objektumorientált programozás alkalmaihoz kötődik.

A Pi grafikus ábrázolása

A nemzetközi Pi nap alkalmából (március 14) Java programmal grafikusan ábrázoljuk a π számjegyeit. Kiindulunk egy négyzet alakú grafikus felület középpontjából. Ezt tekintjük origónak. Sorra vesszük a π első néhány számjegyét: 100, 1000, 10000 paraméterezhető módon. Minden számjegyet egy rövid szakasszal ábrázolunk. A szakaszok egymást követik. Az előző végpontja megegyezik a következő kezdőpontjával. A rajzolás elejét és végét kör jelzi.

Tervezés

Az alábbi szabály alapján döntjük el, hogy a π előforduló számjegyei esetén melyik irányba és milyen színnel rajzolunk szakaszt:

A π első 100000 db számjegyét tároljuk egy szövegfájlban. Ömlesztve, sortörés, tizedesvessző nélkül. Így a π első 30 számjegye: 314159265358979323846264338327. A szövegfájl helyét a String PI_FILE  konstans jegyzi meg. A paraméternek megfelelően ebből vesszük az első N db számjegyet. Ezt a Java program beolvassa egy String típusú pi szövegobjektumba. A számjegyek összetartozó adatait egy Digit osztály rendeli egymáshoz. Ennek három adattagja van: melyik számjegy: int digit, melyik irányba kell szakaszt rajzolni java.awt.Point direction, milyen színnel kell szakaszt rajzolni java.awt.Color color. A tízféle színt egy konstans tömb tárolja: Color[] COLORS.

Részletek a Java forráskódból

A π tízféle számjegyéből az alábbi forráskód-részlettel létrejön egy tömb adatszerkezet: Digit[] digits. A koordináták/vektorok kiszámítása követi az analóg óra számlapjának 36 fokonként való felosztását.

A rajzoláshoz szükséges még néhány konstans: milyen vastag vonalat kell rajzolni: double PEN_RADIUS, mekkora átmérőjű kör jelzi a rajzolás kezdő- és végpontját: double POINT_RADIUS, milyen hosszú vonalat kell rajzolni: int LINE_LENGTH, a rajzterületet mekkorára kell méretezni/skálázni: int SCALE.

Mindezek alapján az alábbi forráskód-részlet vizualizálja a π számjegyeit:

Eredmény

Eredményül ezek az ábrák készíthetők el:

A rajzoláshoz felhasználtuk az StdDraw osztályt, amely ennek a tankönyvnek a példatárából származik: Robert Sedgewick, Kevin Wayne: Computer Science: An Interdisciplinary Approach, 1st edition, Princeton University, Addison-Wesley Professional, 2016, ISBN 978-0134076423. Az osztály metódusaival könnyen beállítható a nézőpont, a vízszintes/függőleges skála, a rajzoláshoz használt toll mérete/színe és a grafikai primitívek közül csak a kör és szakasz ábrázolása szükséges.

Korábban is megemlékeztünk néhány közelítő algoritmus – Viète-féle sor, Leibniz-féle sor, Wallis-formula, Csebisev-sor – implementálásával erről az ünnepnapról: Nemzetközi Pi nap. Ajánljuk korábbi blog bejegyzéseinket rajzolás, animáció, grafika címkékkel, illetve ASCII művészet Java-ban.

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

A feladat a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyam szakmai moduljának 5-8. óra: Vezérlési szerkezetek, 13-16. óra: Tömbök, 17-28. óra: Objektumorientált programozás, 29-36. óra: Grafikus felhasználói felület, 37-44. óra: Fájlkezelés alkalmaihoz kötődik.

Szívgörbe ábrázolása

Szívgörbét ábrázolunk Java programmal. A Valentin-nap inspirálta ezt a feladatot. Számos matematikai görbe ismert, amelyek szívformához (kardioid) hasonlítanak. Szükséges egy megfelelő paraméteres görbe. A függvény szív formájú ábrája/grafikonja és egyenletrendszere alapján is nagy a választék.

Ábrázoljuk ezt a paraméteres szívgörbét Java swing GUI felületen!

A szívgörbe ábrázolásához felhasználom az StdDraw osztályt, amely ennek a tankönyvnek a példatárából származik: Robert Sedgewick, Kevin Wayne: Computer Science: An Interdisciplinary Approach, 1st edition, Princeton University, Addison-Wesley Professional, 2016, ISBN 978-0134076423. Az osztály metódusaival könnyen beállítható a nézőpont, a vízszintes/függőleges skála, a rajzoláshoz használt toll mérete/színe és a grafikai primitívek közül csak a pont ábrázolása szükséges.

Négy megoldást mutatok. Mindegyik azonos szívgörbét rajzol a fenti egyenletrendszer alapján. Mindegyik metódus átveszi az N paramétert, amely az összetartozó x és y koordinátapárok számát jelenti. Az N db pont meghatározása/kiszámolása szükséges a szívgörbe ábrázolásához. A szívgörbe ábrázolása önálló ablakban – grafikus felhasználói felületen – jelenik meg. A feladat matematikai jellegéből adódik, hogy tipikus a t nevű ciklusváltozó használata. A metódusokat a vezérlés az 512 paraméterrel hívja meg.

1. megoldás

A heartCurveDraw1() metódus a kiszámolt x és y koordinátákat két párhuzamos, double típusú tömb adatszerkezetben tárolja. A két tömbbe összesen 2*N db double típusú szám kerül. Azonos index jelöli az összetartozó koordinátapárokat. Az egymást követő két ciklus közül az első előállítja az adatszerkezetet és a második megjeleníti a pontokat.

2. megoldás

A heartCurveDraw2() metódus a párhuzamos tömbök helyett adatszerkezetként egyetlen tömböt használ. A java.awt.geom csomag Point2D osztályú objektumai kerülnek a tömbbe. Mivel a Point2D absztrakt osztály, így a Double() osztálymetódusával (factory method) példányosítható úgy, hogy a szükséges koordinátapárokat megfelelően tudja tárolni. A tömbbe N db objektum kerül.

3. megoldás

A heartCurveDraw3() metódus nem használ tömb adatszerkezetet. Tehát nem emlékszik az összes pont koordinátájára. Ehelyett a ciklus röptében, egyesével létrehozza a pontobjektumokat és azonnal ki is rajzolja azokat (átmeneti az emlékezet).

4. megoldás

A heartCurveDraw4() metódus Stream API-t és lambda kifejezéseket használ. Az első N természetes számból készül egy sorozat, amihez röptében hozzákötődik a t-edik Point2D típusú objektum. Ezzel létrejön egy folyam adatszerkezet. Tehát van egy pillanat, amíg a program emlékszik az összes folyambeli pontobjektumra. Végül a folyam feldolgozása, bejárása során egyesével megszólítva a folyam objektumait, a pontok kirajzolódnak a vászonra.

A vezérlés

Az eredmény

A szívgörbe önálló – swing, grafikus felhasználói felület, GUI – ablakban így jelenik meg:

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

A feladat – a matematikai háttértől eltekintve – a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyam szakmai moduljának 21-24. óra: Objektumorientált programozás 2. rész, valamint a 29-36. Grafikus felhasználói felület alkalmaihoz kötődik.

A 2D szívforma egyenletrendszerét erről a weboldalról választottam: Heart Curve – from Wolfram MathWorld. Egy merész továbbfejlesztési ötlet: a haladóknak megtalálható a 3D szívforma ábrázolása is: Heart Surface – from Wolfram MathWorld.

Sándor is blogolt már a Valentin-nap témában: Rómeó és Júlia. Ebből kiderül, hogy vajon ki szereti jobban a másikat: Rómeó vagy Júlia.

Nemzeti pizza nap

Az USA-ban és még néhány országban február 9-én ünneplik a nemzeti pizza napot. Ehhez kötődően kreatív ötletekkel és persze finom pizzákkal vonzzák az éttermek a vendégeket.

Kreatív ötletekkel a mi oktatói csapatunk is rendelkezik. A nemzeti pizza nap inspirált bennünket az alábbi feladat megoldására.

Osszunk szét igazságosan 9 db egyforma pizzát 10 fő között!

Az igazságost úgy értelmezzük, hogy mindenkinek ugyanannyi (ugyanakkora szelet) pizza jut. Két megoldást mutatunk be grafikusan. Ötleteket adunk ahhoz, hogyan programozható le mindez Java nyelven: swing grafikus felületen, grafikai primitívekkel vagy ismert algoritmusokkal. Ábrákkal mutatjuk be a megoldásokat, színekkel kiemelve az azonos/különböző méretű pizzaszeleteket.

1. megoldás

Mind a 9 db pizzából vágjunk ki egytized méretű szeletet. Marad 9 db kilenctized méretű pizzaszelet és a 9 db egytizedből összeállítható a 10. főnek járó szintén kilenctized méretű pizzaszelet/adag.

2. megoldás

A 9 db pizzából 5 db pizzát vágjunk ketté. Keletkezik 10 db fél pizza. A maradék 4 db pizzát harmadoljunk fel. Keletkezik 12 db egyharmad pizza. A keletkező 2 db egyharmad pizzát osszuk fel 5-5 részre. Keletkezik 10 db egytizenötöd méretű pizzaszelet. Az egyharmad ötödrésze adja az egytizenötöd részt. A 10 főnek járó adaghoz rakjuk össze a 30 db részből a különbözőket: egy adag kilenctized, ami egy fél és egy harmad és egy tizenötöd részből áll össze. Másképpen: 9/10 = 27/30 = 15/30 + 10/30 + 2/30.

Ötletek a Java nyelvű megvalósításhoz

  • A JFrame osztályból származtatott ablak utódosztály tartalompaneljére ráhelyezhető egy öröklődés útján testre szabott JPanel utódosztályból létrehozott objektum. Ennek van grafikus vászna ( Graphics objektum), amely saját koordináta-rendszerrel és pixelszintű hozzáféréssel rendelkezik. Rendelkezésre áll számos grafikai primitív rajzolására használható metódus, például vonal/szakasz, téglalap, ellipszis. A grafikai primitíveknek rajzolható adott színű körvonala és lehetnek adott színnel kitöltöttek is. Például: drawArc(x, y, width, height, startAngle, arcAngle), vagy az azonos paraméterezésű fillArc(...) metódus. A két szög értelmezése: a startAngle az analóg órán a 3 óra irányába néz, valamint az arcAngle pozitív szög fokban megadva az óramutató járásával ellenkező irányba mutat.
  • A beépített grafikus primitívek helyett használhatunk klasszikus algoritmusokat is. Például a Bresenham vonalrajzoló algoritmus, vagy ennek általánosítása a Bresenham körrajzoló (felezőpont) algoritmus. Ezekhez hasznos némi koordináta-geometria és többféle koordináta-rendszer ismerete.

Ötletek továbbfejlesztéshez

  • Megpróbálhatjuk általánosítani a problémát: osszunk szét igazságosan n db egyforma pizzát n+1 fő között!
  • A statikus képek előállítását követően időzítéssel ellátott animációt is készíthetünk, amely megfelelően mozgatja, forgatja a pizzaszeleteket. Így fázisonként megmutathatók a feladat megoldásának lépései. Ehhez többrétegű vászontechnika szükséges, amelyen könnyen mozgatható a nézőhöz közelebbi réteg úgy, hogy a háttér nem változik meg.
  • A saját rajzolt elemek időzítővel – javax.swing.Timer – történő mozgatására példáink java.swing-ben: Hóesés szimuláció és Naprendszer szimuláció – megvalósítás Java nyelven.
  • A saját rajzolt elemek kézi – eseménykezelővel megvalósított – mozgatásához felhasználható példánk JavaFX-ben: Kígyókocka grafikus felületen.
  • A fázisokból lépésenként vezérelhetően felépülő ábrák elkészítéséhez példáink: Fibonacci-spirál és Koch-görbe rajzolása.

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

A feladat – a matematikai háttértől eltekintve – a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyam szakmai moduljának 21-24. óra: Objektumorientált programozás 2. rész, valamint a 29-36. Grafikus felhasználói felület alkalmaihoz kötődik.

Rácsrejtjelezés

Időnként készítünk oktatóprogramokat is tanfolyamainkon. Most az volt a cél, hogy kódolás/dekódolás szakterület egyik ismert betűkeveréses algoritmusának működését mutassa be lépésről-lépésre az oktatóprogram. A rácsrejtjelezést választottuk.

Az elkészült program Java swing-es felületű és Windows Classic look-and-feel bőrrel így néz ki működés közben:

A rácsrejtjelezés a képernyőképen látható 4×4-es Kódrács használatán alapul.

A titkosítandó szöveget karakterenként beleírjuk az aktuális kódrácsba soronként lefelé, azon belül balról jobbra haladva. Ha a négy pozíció betelt, akkor el kell fordítani a kódrácsot az óramutató járásával megegyező irányban 90 fokkal. Ha a szöveg hosszabb 16 karakternél, akkor elölről kell kezdeni. Ha készen vagyunk, akkor soronként haladva leírjuk egymás után a kódrácsban található karaktereket.

A megfejtéshez ismernünk kell a titkosított karaktersorozaton kívül a felhasznált kódrácsot is. A karaktersorozatot soronként lefelé haladva beírjuk a kódrácsba, az ismert kódrácsot ráhelyezve soronként lefelé, azon belül balról jobbra haladva kiolvashatjuk a megfejtést. Természetesen a kódrácsot most is forgatni kell minden negyedik karakter után.

Megfigyelhető, hogy bármely karaktert tudunk titkosítani és megfejteni. Ezért a rácsrejtjelezés ebből a szempontból univerzális módszer.

A kódrács ismerete nélkül a titkosított szöveg nem fejthető meg, tartalmára csak nehézkes következtetést adhatunk. Például, ha tudjuk, hogy milyen nyelvű a titkosított szöveg, akkor támpontot adhat a megfejtéséhez a nyelv ábécéjében előforduló betűk ismert gyakorisága.

A képernyőkép éppen a megfejtés egyik pillanatában készült. A feladó továbbította a titkosított szöveget és a kódrácsot a címzettnek, aki elkezdte annak megfejtését. A negyedik karakter a b volt, utoljára erre kattintott a (4;4) pozícióban. Ezt követte egy rácsforgatás, amelyhez tartozik egy ablak, amely megjeleníti a „Rácsforgatás következik.” szöveget. Ezután a kódrács elfordult, és a következő cella a második sor első cellája lesz. Ha hibás cellára, pozícióra kattintunk, akkor a következő hibaüzeneteket kaphatjuk: „Hibáztál! Folytathatod a titkosítást.” vagy „Hibáztál! Folytathatod a megfejtést.” Ha befejeztük a titkosítást, vagy a megfejtést, akkor a következő üzeneteket kaphatjuk: „A kódolás sikerült.” vagy „A megfejtés sikerült.”

A program tartalmaz egy gyakorlást támogatandó szövegkészletet. Ennek minden eleme 16 hosszúságú, az egyszerűség kedvéért – így nem kell véletlenszerű karakterekkel feltölteni a rács kimaradt celláit, illetve nem kell 16-os csoportokkal foglalkozni.

A Titkosítás és megfejtés fülön látható egy véletlenszerűen kiválasztott szöveg, amelyet karakterenként kódolni lehet a kódrács megfelelő cellájára kattintva. Ha kész, a Továbbítás gombbal a feladó elküldi a címzettnek a titkosított karaktersorozatot, aki hasonlóan megfejti. „Útközben” megfigyelhető, hogy éppen hányadik elforgatásnál tartunk és természetesen megjelenik az aktuális ráccsal titkosított szöveg is.

Az űrlapon lévő Kódrács csoportablak az aktuálisan, véletlenszerűen legenerált kódrácson kívül a kiválasztott cellák pozícióit is tartalmazza. Az (1;1) pozícióban a bal felső cella található. A kódrács a Másik nyomógombbal véletlenszerűen újragenerálható. Ennek megvalósításakor több probléma, ötlet is felmerülhet. Például használható visszalépéses keresés algoritmus.

Most nem specifikáljuk részletesebben, például objektumorientált tervezés, eseménykezelés, háttérbeli objektumok vagy GUI komponensek működésének/vezérlésének szintjén. Aki kedvet kapott és úgy érzi, hogy meg tudja ugrani ezt a kihívást, akkor bátran elkészítheti. Hajrá! Mivel oktatóprogram, szükséges hozzá Leírás és Teszt is.

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

A Java SE szoftverfejlesztő tanfolyamunkon, a szakmai modul Objektumorientált programozás témakörét követő 29-36. óra Grafikus felhasználói felület alkalmain már tudunk egyszerűbb oktatóprogramot tervezni, kódolni, tesztelni.