többféle megoldás összehasonlítása - címke

Egy matematika érettségi feladat megoldása programozással 2023

2023. május 12.2023. május 9. Szerző: Kaczur Sándor

A 2023-as középszintű matematika érettségi feladatsorból az 5. feladat alkalmasnak bizonyult arra, hogy a programozás eszköztárával oldjuk meg. Rögtön többféleképpen is, hogy összehasonlíthatóak legyenek egymással. Érdekes belegondolni, hogy mennyire más lehetne a problémamegoldás, ha programozhatnánk a matematika érettségi vizsgán. A teljes feladatsor letölthető az oktatas.hu-ról.

5. feladat

Adja meg a 420 és az 504 legnagyobb közös osztóját! Megoldását részletezze!

Íme kulcsszavakban, mit érdemes átgondolni a megoldás előtt: számelmélet alaptétele, prímfelbontás (prímtényezős felbontás, faktorizáció), osztópár, prímek szorzata, prímtényezők szorzata, kanonikus alak, euklideszi algoritmus.

1. megoldás

private void lnko1(int aa, int bb) {

if(aa>0 && bb>0) {

int a=Math.max(aa, bb), b=Math.min(aa, bb), m=a%b;

while(m!=0) {

//System.out.println(a+" = "+a/b+" * "+b+" + "+m);

a=b;

b=m;

m=a%b;

}

//System.out.println(a+" = "+a/b+" * "+b+" + "+m);

int lnko=b;

System.out.println("lnko ("+aa+"; "+bb+") = "+lnko);

}

else

System.out.println("Mindkét számnak pozitívnak kell lennie!");

}

Az első megoldás az euklideszi algoritmus alkalmazása. A metódus paraméterezhető. Pozitív paramétereket vár és képes kiírni a konzolra a két szám legnagyobb közös osztóját. A módszer alapötlete: a legnagyobb közös osztó nem változik, ha a nagyobb számot a két szám különbségével helyettesítjük. Ezzel csökken a nagyobb szám, így a cserék ismétlésével egyre kisebb számokat kapunk, amíg a két szám egyenlővé nem válik. Ez az eddigi számpároknak, így az eredeti számpárnak is a legnagyobb közös osztója. Az eredményt az utolsó nem nulla maradék while(m!=0) adja meg int lnko=b;. Az algoritmus lépésszáma csökkenthető, ha a>b, de ennek ellenőrzése nélkül is működik. Mivel a feladat kéri a megoldás részletezését, így aktiválva a megjegyzésbe tett forráskódokat, a kiírásból könnyen érthető, mi és hogyan történik:

504 = 1 * 420 + 84

420 = 5 * 84 + 0

lnko (420; 504) = 84

A konkrét esetben a metódus eredménye: lnko (420; 504) = 84. Nagyobb számok esetében „beszédesebb” a program kiírása, több lépésben írja ki a megoldáshoz vezető utat, ezért érdemes többféle paraméterrel is tesztelni a metódust.

2. megoldás

private List<Integer> primtenyezok(int n) {

List<Integer> primtenyezokLista=new ArrayList<>();

if(n>0)

for(int i=2; i<=n; i++)

while(n%i==0) {

//System.out.printf("%5d | %d\n", n, i);

primtenyezokLista.add(i);

n/=i;

}

//System.out.printf("%5d | \n", n);

return primtenyezokLista;

}

private String primtenyezokSzorzatkent(

List<Integer> primtenyezok) {

return primtenyezok.stream().map(i->i.toString()).

collect(Collectors.joining(" * "));

}

private void lnko2(int a, int b) {

if(a>0 && b>0) {

List<Integer> aPrimtenyezok=primtenyezok(a);

//System.out.println(a+" = "+

// primtenyezokSzorzatkent(aPrimtenyezok));

List<Integer> bPrimtenyezok=primTenyezok(b);

//System.out.println(b+" = "+

// primtenyezokSzorzatkent(bPrimtenyezok));

List<Integer> kozosPrimtenyezok=new ArrayList<>();

aPrimtenyezok.stream().distinct().forEach((prim)->{

long aPrimDb=aPrimtenyezok.stream().filter(p->p==prim).count();

long bPrimDb=bPrimtenyezok.stream().filter(p->p==prim).count();

long minEgyediPrimDb=Math.min(aPrimDb, bPrimDb);

if(minEgyediPrimDb>0)

for(int i=1; i<=minEgyediPrimDb; i++)

kozosPrimtenyezok.add(prim);

});

int lnko=kozosPrimtenyezok.stream().reduce(1, (p1, p2)->p1*p2);

System.out.println("lnko ("+a+"; "+b+") = "+

/*primtenyezokSzorzatkent(kozosPrimtenyezok)+" = "+*/lnko);

}

else

System.out.println("Mindkét számnak pozitívnak kell lennie!");

}

A második megoldás a prímtényezős felbontásokon alapul. Mindkét szám esetén gyűjtsük össze listában ezeket, majd vegyük a két lista közös részét. (Ha lista helyett halmazok lennének, akkor metszet programozási tétel lenne.) A generikus listákba prímszámok kerülnek és bármelyik többször is előfordulhat. (Ezért most a leghosszabb közös részsorozat(ok) előállítása szükséges.) Addig osztjuk a számot 2-vel, amíg lehet, utána következik a többi prímosztó, amíg vannak. Érdemes több metódusra szétosztani a megoldást, mert jóval áttekinthetőbb és karbantarthatóbb Java forráskódot eredményez. A beszédes változó, objektum és metódusnevek is segítenek a megértésben. A második megoldás természetesen ugyanazt az eredményt adja, mint az első megoldás. Aktiválva a megjegyzésbe tett forráskódokat, a kiírásból most is könnyen érthetővé válik (középiskolás matematikaóra-szerűen), mi és hogyan történik:

420 | 2

210 | 2

105 | 3

35 | 5

7 | 7

1 |

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

504 | 2

252 | 2

126 | 2

63 | 3

21 | 3

7 | 7

1 |

504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7

lnko (420; 504) = 2 * 2 * 3 * 7 = 84

Kanonikus alakban: 420 = 2² * 3 * 5 * 7, 504 = 2³ * 3² * 7, így lnko (420; 504) = 2² * 3 * 7. Azaz összeszorozzuk a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványon.
A megoldás erősen épít a generikus kollekciók esetén jól használható Stream API lambda kifejezéseire. Ezeket most nem részletezem, helyette ajánlom a szakmai blogból a lambda kifejezés címkét.

Érdemes átgondolni

Nagy prímszámok esetén az euklideszi algoritmus nem hatékony. Az algoritmus végrehajtása kifejezetten lassú például a Fibonacci-számok esetén. A prímtényezőkre bontás feltételezett bonyolultságát számos kriptográfiai algoritmus használja ki. Vannak különleges esetek is, például: egyforma számok, az egyik szám 1, a két szám egymás többszöröse.
A feladat nem kérte a legkisebb közös többszörös meghatározását, de ha tudjuk a lnko(a, b)-t, akkor abból könnyen adódik a lkkt(a, b)=a*b/lnko(a, b).
A legnagyobb közös osztó tulajdonságait megismerve az euklideszi algoritmus könnyen optimalizálható. Számos esetben ellenőrzést végezhetünk, illetve triviális alapesetek is vannak. Létezik kiterjesztett euklideszi algoritmus is.

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

Ajánljuk matematika érettségi feladat címkénket, mert a témában évről-évre blogolunk.

A feladat a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyam szakmai moduljának 5-8. óra: Vezérlési szerkezetek, 9-12. óra: Metódusok, rekurzió, valamint 17-28. óra: Objektumorientált programozás alkalmaihoz kötődik.

Fibonacci-sorozat

2023. január 3.2022. november 23. Szerző: Kiss Balázs

Ma van (november 23.) a Fibonacci nap (újra). Fibonacci középkori matematikus volt, ő tette közismertté a Fibonacci-sorozat-ot. A (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … sorozat igen népszerű azok közében is, akik programozást tanulnak. A sorozat első két eleme 1 és 1 (ha szükséges, akkor nulladik elemmel is dolgozhatunk), és minden további elem az előző két elem összege.

Korábban is blogoltak a kollégáim a témában:

Kaczur Sándor: Fibonacci nap,
Balogh Péter: Fibonacci-spirál.

Következzen most az én öt különböző megoldásom Java forráskódja, rövid magyarázattal. Mindegyik a Fibonacci-sorozat első tíz elemét állítja elő.

1. megoldás

private void solution1(int n) {

System.out.println("Az első "+n+" Fibonacci szám:");

List<Integer> list=new ArrayList<>();

list.add(1);

for(int i=2; i<n; i++)

list.add(list.get(i-1)+list.get(i-2));

System.out.println(list);

}

Az első megoldás generikus listát épít. Az első két elemet elhelyezi a lista elején ( list.add(1)). Ezek a lista nulladik és első elemei lesznek. Ezután a metódus a maradék 8 elemmel 2-től n-1-ig fiktív indexként hivatkozva az előző két elem összegeként ( list.get(i-1)+list.get(i-2)) index nélkül bővíti a listát.

2. megoldás

private static int fib(int n) {

if(n<=1)

return n;

return fib(n-1)+fib(n-2);

}

private void solution2(int n) {

System.out.println("Az első "+n+" Fibonacci szám:");

for(int i=1; i<=n; i++)

System.out.println(fib(i));

}

A második megoldás a tipikusan nem hatékony rekurzív módszert implementálja. A rekurzív fib() függvény a sorozat egyetlen elemét adja vissza, amit (a függvényt) a ciklus sokszor meghív ahelyett, hogy a ciklus vagy a rekurzió „emlékezne” az előző elemekre.

3. megoldás

private void solution3(int n) {

System.out.println("Az első "+n+" Fibonacci szám:");

Stream.iterate(

new int[] {0, 1}, f->new int[] {f[1], f[0]+f[1]}).

limit(n).

map(f->f[1]).

forEach(System.out::println);

}

A harmadik megoldás funkcionális nyelvi elemeket (Stream API) használ. A folyamba kétdimenziós tömbre történő hivatkozással ( …f-> new int[]… ), közvetlen hozzárendeléssel/leképezéssel ( map()), kerülnek be a sorozat elemei.

4. megoldás

private void solution4(int n) {

System.out.println("Az első "+n+" Fibonacci szám:");

final double SQRT5=Math.sqrt(5);

for(int i=1; i<=n; i++) {

int f=(int)((Math.pow(1+SQRT5, i)-Math.pow(1-SQRT5, i))/

(SQRT5*Math.pow(2, i)));

System.out.println(f);

}

A negyedik megoldás a Fibonacci-számok zárt alakját használja. Másképpen ez a Binet-formula:

Ezzel a képlettel a sorozat elemei közvetlenül megadhatók, azaz nem szükséges más elemekre való hivatkozás. A ciklus adja meg, hogy a sorozat 1-10-ig indexelt elemei szükségesek.

5. megoldás

private void solution5(int n) {

System.out.println("5 Az első "+n+" Fibonacci szám:");

final double SQRT5=Math.sqrt(5);

IntStream.iterate(1, i->i+1).

limit(n).

map(i->(int)((Math.pow(1+SQRT5, i)-Math.pow(1-SQRT5, i))/

(SQRT5*Math.pow(2, i)))).

forEach(System.out::println);

}

Az ötödik megoldás szintén Stream API-t használ. Először előállít egy sorozatot 1-10-ig, amiket a leképezésnél ( map()) inputként használ és alkalmazza rájuk a Binet-formulát. Hagyományos ciklus utasítás nem szükséges.

Eredmény

Mindegyik megoldás a konzolra írja szövegesen az eredményt, azaz a Fibonacci-sorozat első tíz elemét: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Érdemes elemezni a hatékonyság klasszikus három szempontja (időigény/lépésszám, tárigény, bonyolultság) alapján a különböző megoldásokat. Ezek mérésével könnyen kiegészíthetők a fenti metódusok, vagy az azokat meghívó osztályban a vezérlés.

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

A feladat a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyam szakmai moduljának 9-12. óra: Metódusok, rekurzió és 17-28. óra Objektumorientált programozás alkalmaihoz kötődik.

Kutatók éjszakája 2022

2023. január 21.2022. szeptember 30. Szerző: Kaczur Sándor

A Kutatók éjszakája nemzetközi rendezvénysorozat 2005-ben indult. Magyarország 2006-ban csatlakozott. Azóta évről-évre egyre több intézmény nyitja meg hazánkban kapuit, szervez érdekes programokat, sok-sok településen, több száz helyszínen, több ezer eseményt meghirdetve sok tízezer érdeklődő/résztvevő látogatónak biztosít tartalmas estét.

Bár a kezdeményezés elsősorban a kutatói pálya népszerűsítését szolgálja, ezért leginkább a tizen- és huszonévesekre számít, az események vonzók és elég érdekesek ahhoz, hogy a kisgyerekektől a legidősebbekig mindenki megtalálja a számára izgalmas programokat. Korábban nagyobb felsőoktatási intézmények és kutatóintézetek szerepeltek döntően, de az utóbbi néhány évben egyre több kisebb intézmény, tehetséggondozással foglalkozó középiskola, cég, egyesület is csatlakozott a rendezvényhez. A Kutatók éjszakája rendezvény minden meghirdetett programja ingyenes.

Rendezvényünk plakátja

Az it-tanfolyam.hu 2022-ben is hirdetett programokat az eseményhez kötődően. Programjainkat elsődlegesen követőinknek, aktív hallgatóinknak és az alumni csoportunkban hirdettük meg, de persze nyílt rendezvényként valósult meg. Az eseményekre regisztrálni kellett a weblapon. A regisztrációs időszak két hétig tartott, szeptember 16-29-ig. Programjainkra szeptember 30-án 21:00-23:55-ig került sor.

21:00-21:35 – Kiss Balázs: Mi az ipar 4.0? Mi az okos gyár?
Az előadó évek óta foglalkozik okos architektúrák fejlődésének történetével, koncepciójával, szoftveres integrációjával és konfigurációjával. Szívesen osztja meg gondolatait, kutatási eredményeit a témáról, beszél saját kisebb és nagyobb léptékű okos projektjeiről. Praktikus tanácsok is előkerülhetnek – igény szerint. Egyensúlyoz a kész komponensek testre szabási lehetőségei és a saját fejlesztés határán. Utóbbi kulcsszavai: hálózati kommunikáció megvalósítása szerver-kliens között vagy peer-to-peer többféle programozási nyelven, autentikáció, autorizáció, protokoll, tömörítés, felhő architektúrák, robotika, robotprogramozás. Az előadó ismerteti az Európai Parlament 2016-os állásfoglalásából kiindulva, hogy milyen mérföldkövek voltak és jelenleg hol tartunk az ipar 4.0 és az okos gyárak tekintetében és mi várható a közeljövőben. A program a Java tanfolyamaink orientáló moduljához kötődik.

21:40-22:15 – Kaczur Sándor: Algoritmus vesebeteg-donorok párosítására
Hogyan működik 2007 óta Nagy-Britanniában a vesebeteg-donorok párosítása? Sima csere 2 pár esetén adódik. 3 pár esetén körbeadják a vesét egymásnak – ez már jóval összetettebb probléma. A felépített óriási adatbázisban akár több száz lehetőség is adódhat. A probléma megfelelő párosítási algoritmus és számítógép nélkül, pusztán emberi erővel megoldhatatlan lenne. Az implementált algoritmus futási ideje mindössze 30 perc. A párosítást követően a következő lépés a műtétek egyidejűsége, és a donor szervek „utaztatása” minden lehetséges úton – földön, vízen, levegőben –, minden lehetséges közlekedési eszközzel. Hogyan működik mindez a gyakorlatban? Milyen korlátok, problémák vannak? Milyen adatok alapján dönthető el a betegek „kompatibilitása”? Ezek közül mi kapcsolódik az egészségügyhöz és mi a szállításhoz? Az előadó próbál válaszokat adni, de lehet, hogy a végén több lesz a kérdés, mint a válasz. Vajon egyáltalán felmerül a párosítási algoritmus hatékonysága ekkora társadalmi hasznosság mellett? A program a Java tanfolyamaink orientáló moduljához kötődik.

22:20-22:55 – Hollós Gábor: Objektumorientált programozás vs. funkcionális programozás Java nyelven
Az előadó ismert adatszerkezeteket és ismert programozási tételeket használva összehasonlítja a hatékonyság szempontjai alapján egy-egy feladat különböző megvalósításait. Referenciaként tekint az objektumorientált megoldásokra és ehhez képest kiderül, hogy a Java 8-tól elérhető funkcionális elemek milyen változásokat jelenthetnek. Vajon kevesebb memóriát használnak? Gyorsabbak? Egyszerűbbek/bonyolultabbak? Könnyebben megérthetőek, karbantarthatóak, dokumentálhatóak? Hogyan érdemes egyensúlyozni az általunk leprogramozott, a kollekciók hagyományos beépített műveleteit használó és a lambda kifejezések között? Kiderül. A program a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyamunk tematikájához kötődik.

23:00-23:25 – Németh András, Tóth-Szabó Tamás: Karrierváltás után – néhány hónap KKV-s tapasztalatai szoftverfejlesztőként
Mennyire könnyű ma szoftverfejlesztőként elhelyezkedni szakirányú felsőfokú végzettség nélkül? Milyen kihívásokkal találkozhatunk a felvételi folyamat során? Milyen elvárásokat támasztanak a munkaadók egy junior szakemberrel szemben? Hogyan telnek a beilleszkedés után a hétköznapok junior fejlesztőként kis létszámmal működő informatikai profilú kisvállalkozásnál? A tanfolyamainkon 2020-ban és 2021-ben végzett előadók karrierváltó junior szakemberként személyes tapasztalataikról számolnak be és válaszolnak a kérdésekre. A program a Java tanfolyamaink orientáló moduljához kötődik.

23:30-23:55 – Szegedi Kristóf: Gondolkodjunk logikusan!
Az előadás során áttekintjük az intelligencia, a kreatív problémamegoldó és logikus gondolkodás összefüggéseit és izgalmas feladatokból válogatva közösen megoldunk néhány fejtörő feladatot. Néhány példa: Hány éves a kapitány?, CHOO + CHOO = TRAIN, Logikus gondolkodás teszt. Minden feladathoz adunk rávezető példákat – ha esetleg egyik-másik nem menne, akkor ebből ki fog derülni, hogy miket érdemes gyakorolni ahhoz, hogy sikerüljön.

A programjaink népszerűek voltak. Közel 40 érdeklődő látogatót fogadtunk. Többségükben végig velünk tartottak. Néhányan kifejezetten egy-egy adott program iránt érdeklődtek és már késő délutántól úton voltak kora hajnalig. Megragadták a lehetőséget, hogy több budapesti helyszínt is meglátogassanak – ahogyan ez megszokott a Kutatók éjszakája rendezvényeken hosszú évek óta. Kellemes hangulatban, tartalmasan töltöttük együtt az időt, aminek igazán örülök.

Szeretném megköszönni az előadó kollégák és alumni hallgatóink színvonalas munkáját, igényes felkészülését. Köszönjük mindenkinek, aki részt vett a Kutatók éjszakája 2022 rendezvényünkön. Az aktív kérdező csapatot külön is kiemelem. Az előadások prezentációit tanfolyamaink hallgatói számára – a témához kapcsolódó témakörökhöz, ILIAS-ra feltöltve – tesszük elérhetővé.

Egy matematika érettségi feladat megoldása programozással 2022

2023. január 3.2022. május 3. Szerző: Kaczur Sándor

A 2022-es középszintű matematika érettségi feladatsor eléggé egyszerű volt, de azért a 6. feladata inspirált arra, hogy a programozás eszköztárával oldjuk meg ezt a feladatot. Szükséges hozzá a megszámolás programozási tétel. Többféle megoldás/megközelítés (iteratív és rekurzív) is előkerül. Érdekes belegondolni, hogy mennyire más lehetne a problémamegoldás, ha programozhatnánk a matematika érettségi vizsgán. A teljes feladatsor a megoldásokkal együtt letölthető az oktatas.hu-ról.

6. feladat

Egy feleletválasztós teszt 5 kérdésből áll, minden kérdésnél négy válaszlehetőség van. Hányféleképpen lehet az 5 kérdésből álló tesztet kitölteni, ha minden kérdésnél egy választ kell megjelölni?

1. megoldás

static void feladat6Megoldas1() {

System.out.println((int)Math.pow(4, 5));

}

Rögtön tudjuk, hogy ez kombinatorika, n elem k-ad osztályú ismétléses variációja, amelynek paraméterei: n=4, k=5. A hatványozás azonosságainak ismeretében fejből is tudjuk a megoldást: 4⁵=2¹⁰=1024. A Java forráskód elvégzi a hatványozást. A Math.pow() függvény általánosabb, mint amire most szükségünk van. Fogad double valós paramétereket és double típusú értékkel tér vissza. Ezért hasznos az (int) explicit típuskényszerítés.

Másképpen: négy elemű halmazból öt elemet kiválasztunk és ezeket sorba rendezzük (permutáljuk) és egy elemet egy csoportban akár ötször is felhasználhatunk. Számít a sorrend. A lehetséges variációk száma: 1024.

2. megoldás

static int ismetlesesVariacio(int n, int k) {

return (int)(Math.pow(n, k));

}

static void feladat6Megoldas2() {

System.out.println(ismetlesesVariacio(4, 5));

}

Ha hasznos lenne egy általános metódus az ismétléses variáció kiszámítására, akkor ez egy tipikus megoldás lehet erre. Kiegészítendő még a két paraméter előjelének ellenőrzésével.

3. megoldás

static void feladat6Megoldas3() {

for(char k1='a'; k1<='d'; k1++)

for(char k2='a'; k2<='d'; k2++)

for(char k3='a'; k3<='d'; k3++)

for(char k4='a'; k4<='d'; k4++)

for(char k5='a'; k5<='d'; k5++)

System.out.print(""+k1+k2+k3+k4+k5+" ");

System.out.println();

}

Ha a megértést segíti, akkor a teljes leszámolás (brute force) módszerével, egymásba ágyazott ciklusokkal könnyen kiírathatjuk a konzolra az 1024 db különböző válaszlehetőséget. A k-val kezdődő sorszámozott ciklusváltozók jelölik az öt kérdést, azon belül az 'a'-tól 'd'-ig karakterek adják a válaszlehetőségeket. Eredményül ezt kapjuk (görgethető):

100

101

102

103

aaaaa aaaab aaaac aaaad aaaba aaabb aaabc aaabd aaaca aaacb

aaacc aaacd aaada aaadb aaadc aaadd aabaa aabab aabac aabad

aabba aabbb aabbc aabbd aabca aabcb aabcc aabcd aabda aabdb

aabdc aabdd aacaa aacab aacac aacad aacba aacbb aacbc aacbd

aacca aaccb aaccc aaccd aacda aacdb aacdc aacdd aadaa aadab

aadac aadad aadba aadbb aadbc aadbd aadca aadcb aadcc aadcd

aadda aaddb aaddc aaddd abaaa abaab abaac abaad ababa ababb

ababc ababd abaca abacb abacc abacd abada abadb abadc abadd

abbaa abbab abbac abbad abbba abbbb abbbc abbbd abbca abbcb

abbcc abbcd abbda abbdb abbdc abbdd abcaa abcab abcac abcad

abcba abcbb abcbc abcbd abcca abccb abccc abccd abcda abcdb

abcdc abcdd abdaa abdab abdac abdad abdba abdbb abdbc abdbd

abdca abdcb abdcc abdcd abdda abddb abddc abddd acaaa acaab

acaac acaad acaba acabb acabc acabd acaca acacb acacc acacd

acada acadb acadc acadd acbaa acbab acbac acbad acbba acbbb

acbbc acbbd acbca acbcb acbcc acbcd acbda acbdb acbdc acbdd

accaa accab accac accad accba accbb accbc accbd accca acccb

acccc acccd accda accdb accdc accdd acdaa acdab acdac acdad

acdba acdbb acdbc acdbd acdca acdcb acdcc acdcd acdda acddb

acddc acddd adaaa adaab adaac adaad adaba adabb adabc adabd

adaca adacb adacc adacd adada adadb adadc adadd adbaa adbab

adbac adbad adbba adbbb adbbc adbbd adbca adbcb adbcc adbcd

adbda adbdb adbdc adbdd adcaa adcab adcac adcad adcba adcbb

adcbc adcbd adcca adccb adccc adccd adcda adcdb adcdc adcdd

addaa addab addac addad addba addbb addbc addbd addca addcb

addcc addcd addda adddb adddc adddd baaaa baaab baaac baaad

baaba baabb baabc baabd baaca baacb baacc baacd baada baadb

baadc baadd babaa babab babac babad babba babbb babbc babbd

babca babcb babcc babcd babda babdb babdc babdd bacaa bacab

bacac bacad bacba bacbb bacbc bacbd bacca baccb baccc baccd

bacda bacdb bacdc bacdd badaa badab badac badad badba badbb

badbc badbd badca badcb badcc badcd badda baddb baddc baddd

bbaaa bbaab bbaac bbaad bbaba bbabb bbabc bbabd bbaca bbacb

bbacc bbacd bbada bbadb bbadc bbadd bbbaa bbbab bbbac bbbad

bbbba bbbbb bbbbc bbbbd bbbca bbbcb bbbcc bbbcd bbbda bbbdb

bbbdc bbbdd bbcaa bbcab bbcac bbcad bbcba bbcbb bbcbc bbcbd

bbcca bbccb bbccc bbccd bbcda bbcdb bbcdc bbcdd bbdaa bbdab

bbdac bbdad bbdba bbdbb bbdbc bbdbd bbdca bbdcb bbdcc bbdcd

bbdda bbddb bbddc bbddd bcaaa bcaab bcaac bcaad bcaba bcabb

bcabc bcabd bcaca bcacb bcacc bcacd bcada bcadb bcadc bcadd

bcbaa bcbab bcbac bcbad bcbba bcbbb bcbbc bcbbd bcbca bcbcb

bcbcc bcbcd bcbda bcbdb bcbdc bcbdd bccaa bccab bccac bccad

bccba bccbb bccbc bccbd bccca bcccb bcccc bcccd bccda bccdb

bccdc bccdd bcdaa bcdab bcdac bcdad bcdba bcdbb bcdbc bcdbd

bcdca bcdcb bcdcc bcdcd bcdda bcddb bcddc bcddd bdaaa bdaab

bdaac bdaad bdaba bdabb bdabc bdabd bdaca bdacb bdacc bdacd

bdada bdadb bdadc bdadd bdbaa bdbab bdbac bdbad bdbba bdbbb

bdbbc bdbbd bdbca bdbcb bdbcc bdbcd bdbda bdbdb bdbdc bdbdd

bdcaa bdcab bdcac bdcad bdcba bdcbb bdcbc bdcbd bdcca bdccb

bdccc bdccd bdcda bdcdb bdcdc bdcdd bddaa bddab bddac bddad

bddba bddbb bddbc bddbd bddca bddcb bddcc bddcd bddda bdddb

bdddc bdddd caaaa caaab caaac caaad caaba caabb caabc caabd

caaca caacb caacc caacd caada caadb caadc caadd cabaa cabab

cabac cabad cabba cabbb cabbc cabbd cabca cabcb cabcc cabcd

cabda cabdb cabdc cabdd cacaa cacab cacac cacad cacba cacbb

cacbc cacbd cacca caccb caccc caccd cacda cacdb cacdc cacdd

cadaa cadab cadac cadad cadba cadbb cadbc cadbd cadca cadcb

cadcc cadcd cadda caddb caddc caddd cbaaa cbaab cbaac cbaad

cbaba cbabb cbabc cbabd cbaca cbacb cbacc cbacd cbada cbadb

cbadc cbadd cbbaa cbbab cbbac cbbad cbbba cbbbb cbbbc cbbbd

cbbca cbbcb cbbcc cbbcd cbbda cbbdb cbbdc cbbdd cbcaa cbcab

cbcac cbcad cbcba cbcbb cbcbc cbcbd cbcca cbccb cbccc cbccd

cbcda cbcdb cbcdc cbcdd cbdaa cbdab cbdac cbdad cbdba cbdbb

cbdbc cbdbd cbdca cbdcb cbdcc cbdcd cbdda cbddb cbddc cbddd

ccaaa ccaab ccaac ccaad ccaba ccabb ccabc ccabd ccaca ccacb

ccacc ccacd ccada ccadb ccadc ccadd ccbaa ccbab ccbac ccbad

ccbba ccbbb ccbbc ccbbd ccbca ccbcb ccbcc ccbcd ccbda ccbdb

ccbdc ccbdd cccaa cccab cccac cccad cccba cccbb cccbc cccbd

cccca ccccb ccccc ccccd cccda cccdb cccdc cccdd ccdaa ccdab

ccdac ccdad ccdba ccdbb ccdbc ccdbd ccdca ccdcb ccdcc ccdcd

ccdda ccddb ccddc ccddd cdaaa cdaab cdaac cdaad cdaba cdabb

cdabc cdabd cdaca cdacb cdacc cdacd cdada cdadb cdadc cdadd

cdbaa cdbab cdbac cdbad cdbba cdbbb cdbbc cdbbd cdbca cdbcb

cdbcc cdbcd cdbda cdbdb cdbdc cdbdd cdcaa cdcab cdcac cdcad

cdcba cdcbb cdcbc cdcbd cdcca cdccb cdccc cdccd cdcda cdcdb

cdcdc cdcdd cddaa cddab cddac cddad cddba cddbb cddbc cddbd

cddca cddcb cddcc cddcd cddda cdddb cdddc cdddd daaaa daaab

daaac daaad daaba daabb daabc daabd daaca daacb daacc daacd

daada daadb daadc daadd dabaa dabab dabac dabad dabba dabbb

dabbc dabbd dabca dabcb dabcc dabcd dabda dabdb dabdc dabdd

dacaa dacab dacac dacad dacba dacbb dacbc dacbd dacca daccb

daccc daccd dacda dacdb dacdc dacdd dadaa dadab dadac dadad

dadba dadbb dadbc dadbd dadca dadcb dadcc dadcd dadda daddb

daddc daddd dbaaa dbaab dbaac dbaad dbaba dbabb dbabc dbabd

dbaca dbacb dbacc dbacd dbada dbadb dbadc dbadd dbbaa dbbab

dbbac dbbad dbbba dbbbb dbbbc dbbbd dbbca dbbcb dbbcc dbbcd

dbbda dbbdb dbbdc dbbdd dbcaa dbcab dbcac dbcad dbcba dbcbb

dbcbc dbcbd dbcca dbccb dbccc dbccd dbcda dbcdb dbcdc dbcdd

dbdaa dbdab dbdac dbdad dbdba dbdbb dbdbc dbdbd dbdca dbdcb

dbdcc dbdcd dbdda dbddb dbddc dbddd dcaaa dcaab dcaac dcaad

dcaba dcabb dcabc dcabd dcaca dcacb dcacc dcacd dcada dcadb

dcadc dcadd dcbaa dcbab dcbac dcbad dcbba dcbbb dcbbc dcbbd

dcbca dcbcb dcbcc dcbcd dcbda dcbdb dcbdc dcbdd dccaa dccab

dccac dccad dccba dccbb dccbc dccbd dccca dcccb dcccc dcccd

dccda dccdb dccdc dccdd dcdaa dcdab dcdac dcdad dcdba dcdbb

dcdbc dcdbd dcdca dcdcb dcdcc dcdcd dcdda dcddb dcddc dcddd

ddaaa ddaab ddaac ddaad ddaba ddabb ddabc ddabd ddaca ddacb

ddacc ddacd ddada ddadb ddadc ddadd ddbaa ddbab ddbac ddbad

ddbba ddbbb ddbbc ddbbd ddbca ddbcb ddbcc ddbcd ddbda ddbdb

ddbdc ddbdd ddcaa ddcab ddcac ddcad ddcba ddcbb ddcbc ddcbd

ddcca ddccb ddccc ddccd ddcda ddcdb ddcdc ddcdd dddaa dddab

dddac dddad dddba dddbb dddbc dddbd dddca dddcb dddcc dddcd

dddda ddddb ddddc ddddd

4. megoldás

static void feladat6Megoldas4() {

int db=0;

for(char k1='a'; k1<='d'; k1++)

for(char k2='a'; k2<='d'; k2++)

for(char k3='a'; k3<='d'; k3++)

for(char k4='a'; k4<='d'; k4++)

for(char k5='a'; k5<='d'; k5++)

db++;

System.out.println(db);

}

Ha csak a végeredmény szükséges, akkor ez az iteratív megoldás a megszámolás programozási tétellel előállítja azt.

5. megoldás

static void feladat6Megoldas5(String valasz) {

if(valasz.length()==5)

System.out.print(valasz+" ");

else

for(char v='a'; v<='d'; v++)

feladat6Megoldas5(valasz+v);

}

Ez egy rekurzív megoldás. Ciklus helyett a metódus önmagát hívja meg, így valósul meg az ismételt utasításvégrehajtás. A válaszlehetőségek összefűzésével (konkatenáció) előállított válasz akkor megfelelő, ha annak hossza öt. Ez esetben kiíródik a válaszlehetőség a konzolra (mintegy mellékhatásként). Ugyanazt az eredményt kapjuk, mint a 3. megoldásnál.

6. megoldás

static int db=0;

//...

static void feladat6Megoldas6(String valasz) {

if(valasz.length()==5)

db++;

else

for(char v='a'; v<='d'; v++)

feladat6Megoldas6(valasz+v);

}

//...

public static void main(String[] args) {

feladat6Megoldas6("");

System.out.println(db);

}

Szintén, ha csak a végeredmény szükséges, akkor ez a mellékhatással rendelkező rekurzív metódus előállítja azt. A mellékhatás most az, hogy a metódus eljárás és nem függvény és szükséges hozzá a db osztályváltozó (ami a metódushoz képest globálisnak is tekinthető).

7. megoldás

static void feladat6Megoldas7() {

int n=4, k=5, nadk=(int)Math.pow(n, k);

int[][] y=new int[nadk][1];

for(int i=0; i<=nadk-1; i++) {

int m=i;

int[] x=new int[k+1];

for(int j=1; j<=k; j++) {

x[j]=m%n;

m/=n;

}

y[i]=x;

}

for(int i=0; i<nadk; i++) {

for(int j=k; j>=1; j--)

System.out.print((char)(97+y[i][j]));

System.out.print(" ");

}

Ez a megoldás a válaszlehetőségeket megfelelteti n alapú számrendszerben k számjegyből álló számoknak. A kétdimenziós tömbben számokat tárol, így:

1,…,1,1 → 0…0000
1,…,1,2 → 0…0001
1,…,1,n → 0…001(n–1)
…
1,…,2,n → 0…001(n–1)
n,…,n,n → (n–1)...(n–1)

Végül a kiíró ciklus ezeket a számokat karakterekké alakítja ( 'a' ASCII kódja 97) és fordított sorrendben írja ki, hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, mint a 3. megoldásnál.

Továbbfejlesztési lehetőségek

A 2. megoldáshoz: teszteljük le a lehetséges túlcsordulást és az int típus helyett szükség esetén használjunk long típust!
A 3. megoldáshoz: építsünk kétdimenziós tömb adatszerkezetet, amiből később az i-edik válaszlehetőség megadható!
Előzőhöz: állítsuk elő lexikografikus sorrendben az i-edik válaszlehetőséget adatszerkezet felépítése nélkül!
A 6. megoldáshoz: valósítsuk meg a rekurzív gondolatmenetet mellékhatás nélkül!
Teszteljünk: mennyi idő alatt hajtódik végre a 4. és a 6. megoldás? Mekkora paraméterekkel érzékelhető, hogy a rekurzió jóval lassabban fut?
A 7. megoldáshoz: cseréljük le az egésztömb adatszerkezetet karaktertömbre!

A bejegyzéshez tartozó teljes forráskódot ILIAS e-learning tananyagban tesszük elérhetővé tanfolyamaink résztvevői számára.

Ajánljuk matematika érettségi feladat címkénket, mert a témában évről-évre blogolunk.

A feladat a Java SE szoftverfejlesztő tanfolyam szakmai moduljának 5-8. óra: Vezérlési szerkezetek, valamint 21-24. óra: Objektumorientált programozás 1. rész alkalmaihoz kötődik.

Ratkó István emlékest 2022

2022. december 19.2022. március 25. Szerző: Kaczur Sándor

A Gábor Dénes Főiskolán működő Ratkó István matematika interdiszciplináris alkalmazásai Műhely 2022. március 25-én 10. alkalommal rendezte meg a Ratkó István emlékestet. Ezen már többször is részt vettem előadóként és a hallgatóság tagjaként is. 2014-ben Prímszámkereső algoritmusok hatékonysága címmel, 2015-ben A bűvös négyzet története és előállítása (oktatóprogram) címmel tartottam előadást. A jubileumi emlékesten pedig „Töltsünk ki az ötöslottón 100 szelvényt úgy, hogy valamelyik szelvénnyel biztosan legyen két találatunk!” – a feladat megoldásához vezető út címmel tartottam előadást.

A blog bejegyzésben röviden összefoglalom az előadást:

Személyes élmények Ratkó tanár úrhoz kötődően
Ötöslottó: diszkrét matematika, elemi kombinatorikai feladat, lehetséges különböző szelvények száma, öttalálatos valószínűsége, szemléltetés
Véletlenszámok előállítása: valódi és ál (pszeudo) véletlenszámok, hardveres és szoftveres megoldások áttekintése, LCG
Egyetlen véletlenszám előállítása Java nyelven: procedurális, OO, szálbiztos megoldások
Egyetlen lottószelvény előállítása Java nyelven: adatszerkezet nélkül, logikai tömb (demóprogram), számtömb, szöveg (McMillan egyenlőtlenség, optimális kód, Huffman kód, prefixmentes kódolás, Shannon-Fano kód, hibajelző és hibajavító kód, Hamming távolság, Reed-Solomon kód, algebra: véges testek megkonstruálása), generikus lista (érték), generikus lista (keverés), generikus lista (elfogyasztás), generikus halmaz, funkcionális programozás / algoritmusok és adatszerkezetek rövid elemzése, összehasonlítása, kompromisszumok
Találatok száma: matematika vs. programozási tételek, metszet tömbbel és generikus listával, Stream API-val, lambda kifejezéssel
Különböző lottószelvények előállítása: összes eset, brute force, mesterséges intelligencia, problématér|állapottér, kombinatorikai robbanás kontrollálása
(szemléletváltás: az eddigi 1-90 intervallumból kiválasztott 5 különböző szám egy lottószelvényt jelentett, mostantól az 1-43949268 intervallumból kiválasztott különböző számok különböző lottószelvényeket jelentenek)

Eddig minden feldolgozható a középiskolás matematikai eszköztárral és kezdő Java objektumorientált programozás által biztosított mozgástérben. A továbbiakhoz szintet kell lépni.

A konkrét feladatspecifikáció:

„Töltsünk ki az ötöslottón 100 szelvényt úgy, hogy valamelyik szelvénnyel biztosan legyen két találatunk!” (Segítség: töltsünk ki 30 szelvényt úgy, hogy az 1-25 közötti számpárt lefedjék; 21 szelvényt úgy, hogy a 26-46 közötti összes számpárt lefedjék; 21 szelvényt úgy, hogy a 47-67 közötti összes számpárt lefedjék és 28 szelvényt úgy, hogy a 68-90 közötti összes számpárt lefedjék. Miért lesz így legalább két találatunk?)

A szintlépéshez hasznos ismerni két tankönyvet (Szilasi Zoltán: Bevezetés a véges geometriába, 2015; Reiman István: A geometria és határterületei, 2001) és egy tudományos cikket (Z. Füredi, G. J. Székely, Z. Zubor: On the Lottery Problem, 1995). További szükséges ismeretek (geometria, algebra, elemi matematika, kombinatorika): projektív geometria, véges projektív sík, Kirkman iskoláslány problémája, Fano-sík (mint algebrai és geometriai leképezés), Steiner-rendszer (ponthalmaz, amely elemszáma 6k+1 alakú prím), néhány konstruktív jellegű bizonyítás, skatulya-elv.

Az előadás a feladat megoldásához vezető útról szólt. Az eredmény előtti utolsó előtti lépés ezt jelenti (Java program konzolra kiírt szövege):

Töltsünk ki az ötöslottón 100 szelvényt úgy, hogy valamelyik szelvénnyel biztosan legyen két találatunk!

Segítség:

1-25 közötti összes számpár (300 db):

[(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (1, 15), (1, 16), (1, 17), (1, 18), (1, 19), (1, 20), (1, 21), (1, 22), (1, 23), (1, 24), (1, 25), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (2, 15), (2, 16), (2, 17), (2, 18), (2, 19), (2, 20), (2, 21), (2, 22), (2, 23), (2, 24), (2, 25), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), (3, 11), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (3, 15), (3, 16), (3, 17), (3, 18), (3, 19), (3, 20), (3, 21), (3, 22), (3, 23), (3, 24), (3, 25), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (4, 11), (4, 12), (4, 13), (4, 14), (4, 15), (4, 16), (4, 17), (4, 18), (4, 19), (4, 20), (4, 21), (4, 22), (4, 23), (4, 24), (4, 25), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14), (5, 15), (5, 16), (5, 17), (5, 18), (5, 19), (5, 20), (5, 21), (5, 22), (5, 23), (5, 24), (5, 25), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14), (6, 15), (6, 16), (6, 17), (6, 18), (6, 19), (6, 20), (6, 21), (6, 22), (6, 23), (6, 24), (6, 25), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (7, 11), (7, 12), (7, 13), (7, 14), (7, 15), (7, 16), (7, 17), (7, 18), (7, 19), (7, 20), (7, 21), (7, 22), (7, 23), (7, 24), (7, 25), (8, 9), (8, 10), (8, 11), (8, 12), (8, 13), (8, 14), (8, 15), (8, 16), (8, 17), (8, 18), (8, 19), (8, 20), (8, 21), (8, 22), (8, 23), (8, 24), (8, 25), (9, 10), (9, 11), (9, 12), (9, 13), (9, 14), (9, 15), (9, 16), (9, 17), (9, 18), (9, 19), (9, 20), (9, 21), (9, 22), (9, 23), (9, 24), (9, 25), (10, 11), (10, 12), (10, 13), (10, 14), (10, 15), (10, 16), (10, 17), (10, 18), (10, 19), (10, 20), (10, 21), (10, 22), (10, 23), (10, 24), (10, 25), (11, 12), (11, 13), (11, 14), (11, 15), (11, 16), (11, 17), (11, 18), (11, 19), (11, 20), (11, 21), (11, 22), (11, 23), (11, 24), (11, 25), (12, 13), (12, 14), (12, 15), (12, 16), (12, 17), (12, 18), (12, 19), (12, 20), (12, 21), (12, 22), (12, 23), (12, 24), (12, 25), (13, 14), (13, 15), (13, 16), (13, 17), (13, 18), (13, 19), (13, 20), (13, 21), (13, 22), (13, 23), (13, 24), (13, 25), (14, 15), (14, 16), (14, 17), (14, 18), (14, 19), (14, 20), (14, 21), (14, 22), (14, 23), (14, 24), (14, 25), (15, 16), (15, 17), (15, 18), (15, 19), (15, 20), (15, 21), (15, 22), (15, 23), (15, 24), (15, 25), (16, 17), (16, 18), (16, 19), (16, 20), (16, 21), (16, 22), (16, 23), (16, 24), (16, 25), (17, 18), (17, 19), (17, 20), (17, 21), (17, 22), (17, 23), (17, 24), (17, 25), (18, 19), (18, 20), (18, 21), (18, 22), (18, 23), (18, 24), (18, 25), (19, 20), (19, 21), (19, 22), (19, 23), (19, 24), (19, 25), (20, 21), (20, 22), (20, 23), (20, 24), (20, 25), (21, 22), (21, 23), (21, 24), (21, 25), (22, 23), (22, 24), (22, 25), (23, 24), (23, 25), (24, 25)]

ebből kellene 30 db szelvényt kitölteni úgy, hogy az összes számpárt lefedje

26-46 közötti összes számpár (210 db):

[(26, 27), (26, 28), (26, 29), (26, 30), (26, 31), (26, 32), (26, 33), (26, 34), (26, 35), (26, 36), (26, 37), (26, 38), (26, 39), (26, 40), (26, 41), (26, 42), (26, 43), (26, 44), (26, 45), (26, 46), (27, 28), (27, 29), (27, 30), (27, 31), (27, 32), (27, 33), (27, 34), (27, 35), (27, 36), (27, 37), (27, 38), (27, 39), (27, 40), (27, 41), (27, 42), (27, 43), (27, 44), (27, 45), (27, 46), (28, 29), (28, 30), (28, 31), (28, 32), (28, 33), (28, 34), (28, 35), (28, 36), (28, 37), (28, 38), (28, 39), (28, 40), (28, 41), (28, 42), (28, 43), (28, 44), (28, 45), (28, 46), (29, 30), (29, 31), (29, 32), (29, 33), (29, 34), (29, 35), (29, 36), (29, 37), (29, 38), (29, 39), (29, 40), (29, 41), (29, 42), (29, 43), (29, 44), (29, 45), (29, 46), (30, 31), (30, 32), (30, 33), (30, 34), (30, 35), (30, 36), (30, 37), (30, 38), (30, 39), (30, 40), (30, 41), (30, 42), (30, 43), (30, 44), (30, 45), (30, 46), (31, 32), (31, 33), (31, 34), (31, 35), (31, 36), (31, 37), (31, 38), (31, 39), (31, 40), (31, 41), (31, 42), (31, 43), (31, 44), (31, 45), (31, 46), (32, 33), (32, 34), (32, 35), (32, 36), (32, 37), (32, 38), (32, 39), (32, 40), (32, 41), (32, 42), (32, 43), (32, 44), (32, 45), (32, 46), (33, 34), (33, 35), (33, 36), (33, 37), (33, 38), (33, 39), (33, 40), (33, 41), (33, 42), (33, 43), (33, 44), (33, 45), (33, 46), (34, 35), (34, 36), (34, 37), (34, 38), (34, 39), (34, 40), (34, 41), (34, 42), (34, 43), (34, 44), (34, 45), (34, 46), (35, 36), (35, 37), (35, 38), (35, 39), (35, 40), (35, 41), (35, 42), (35, 43), (35, 44), (35, 45), (35, 46), (36, 37), (36, 38), (36, 39), (36, 40), (36, 41), (36, 42), (36, 43), (36, 44), (36, 45), (36, 46), (37, 38), (37, 39), (37, 40), (37, 41), (37, 42), (37, 43), (37, 44), (37, 45), (37, 46), (38, 39), (38, 40), (38, 41), (38, 42), (38, 43), (38, 44), (38, 45), (38, 46), (39, 40), (39, 41), (39, 42), (39, 43), (39, 44), (39, 45), (39, 46), (40, 41), (40, 42), (40, 43), (40, 44), (40, 45), (40, 46), (41, 42), (41, 43), (41, 44), (41, 45), (41, 46), (42, 43), (42, 44), (42, 45), (42, 46), (43, 44), (43, 45), (43, 46), (44, 45), (44, 46), (45, 46)]

ebből kellene 21 db szelvényt kitölteni úgy, hogy az összes számpárt lefedje

47-67 közötti összes számpár (210 db):

[(47, 48), (47, 49), (47, 50), (47, 51), (47, 52), (47, 53), (47, 54), (47, 55), (47, 56), (47, 57), (47, 58), (47, 59), (47, 60), (47, 61), (47, 62), (47, 63), (47, 64), (47, 65), (47, 66), (47, 67), (48, 49), (48, 50), (48, 51), (48, 52), (48, 53), (48, 54), (48, 55), (48, 56), (48, 57), (48, 58), (48, 59), (48, 60), (48, 61), (48, 62), (48, 63), (48, 64), (48, 65), (48, 66), (48, 67), (49, 50), (49, 51), (49, 52), (49, 53), (49, 54), (49, 55), (49, 56), (49, 57), (49, 58), (49, 59), (49, 60), (49, 61), (49, 62), (49, 63), (49, 64), (49, 65), (49, 66), (49, 67), (50, 51), (50, 52), (50, 53), (50, 54), (50, 55), (50, 56), (50, 57), (50, 58), (50, 59), (50, 60), (50, 61), (50, 62), (50, 63), (50, 64), (50, 65), (50, 66), (50, 67), (51, 52), (51, 53), (51, 54), (51, 55), (51, 56), (51, 57), (51, 58), (51, 59), (51, 60), (51, 61), (51, 62), (51, 63), (51, 64), (51, 65), (51, 66), (51, 67), (52, 53), (52, 54), (52, 55), (52, 56), (52, 57), (52, 58), (52, 59), (52, 60), (52, 61), (52, 62), (52, 63), (52, 64), (52, 65), (52, 66), (52, 67), (53, 54), (53, 55), (53, 56), (53, 57), (53, 58), (53, 59), (53, 60), (53, 61), (53, 62), (53, 63), (53, 64), (53, 65), (53, 66), (53, 67), (54, 55), (54, 56), (54, 57), (54, 58), (54, 59), (54, 60), (54, 61), (54, 62), (54, 63), (54, 64), (54, 65), (54, 66), (54, 67), (55, 56), (55, 57), (55, 58), (55, 59), (55, 60), (55, 61), (55, 62), (55, 63), (55, 64), (55, 65), (55, 66), (55, 67), (56, 57), (56, 58), (56, 59), (56, 60), (56, 61), (56, 62), (56, 63), (56, 64), (56, 65), (56, 66), (56, 67), (57, 58), (57, 59), (57, 60), (57, 61), (57, 62), (57, 63), (57, 64), (57, 65), (57, 66), (57, 67), (58, 59), (58, 60), (58, 61), (58, 62), (58, 63), (58, 64), (58, 65), (58, 66), (58, 67), (59, 60), (59, 61), (59, 62), (59, 63), (59, 64), (59, 65), (59, 66), (59, 67), (60, 61), (60, 62), (60, 63), (60, 64), (60, 65), (60, 66), (60, 67), (61, 62), (61, 63), (61, 64), (61, 65), (61, 66), (61, 67), (62, 63), (62, 64), (62, 65), (62, 66), (62, 67), (63, 64), (63, 65), (63, 66), (63, 67), (64, 65), (64, 66), (64, 67), (65, 66), (65, 67), (66, 67)]

ebből kellene 21 db szelvényt kitölteni úgy, hogy az összes számpárt lefedje

68-90 közötti összes számpár (253 db):

[(68, 69), (68, 70), (68, 71), (68, 72), (68, 73), (68, 74), (68, 75), (68, 76), (68, 77), (68, 78), (68, 79), (68, 80), (68, 81), (68, 82), (68, 83), (68, 84), (68, 85), (68, 86), (68, 87), (68, 88), (68, 89), (68, 90), (69, 70), (69, 71), (69, 72), (69, 73), (69, 74), (69, 75), (69, 76), (69, 77), (69, 78), (69, 79), (69, 80), (69, 81), (69, 82), (69, 83), (69, 84), (69, 85), (69, 86), (69, 87), (69, 88), (69, 89), (69, 90), (70, 71), (70, 72), (70, 73), (70, 74), (70, 75), (70, 76), (70, 77), (70, 78), (70, 79), (70, 80), (70, 81), (70, 82), (70, 83), (70, 84), (70, 85), (70, 86), (70, 87), (70, 88), (70, 89), (70, 90), (71, 72), (71, 73), (71, 74), (71, 75), (71, 76), (71, 77), (71, 78), (71, 79), (71, 80), (71, 81), (71, 82), (71, 83), (71, 84), (71, 85), (71, 86), (71, 87), (71, 88), (71, 89), (71, 90), (72, 73), (72, 74), (72, 75), (72, 76), (72, 77), (72, 78), (72, 79), (72, 80), (72, 81), (72, 82), (72, 83), (72, 84), (72, 85), (72, 86), (72, 87), (72, 88), (72, 89), (72, 90), (73, 74), (73, 75), (73, 76), (73, 77), (73, 78), (73, 79), (73, 80), (73, 81), (73, 82), (73, 83), (73, 84), (73, 85), (73, 86), (73, 87), (73, 88), (73, 89), (73, 90), (74, 75), (74, 76), (74, 77), (74, 78), (74, 79), (74, 80), (74, 81), (74, 82), (74, 83), (74, 84), (74, 85), (74, 86), (74, 87), (74, 88), (74, 89), (74, 90), (75, 76), (75, 77), (75, 78), (75, 79), (75, 80), (75, 81), (75, 82), (75, 83), (75, 84), (75, 85), (75, 86), (75, 87), (75, 88), (75, 89), (75, 90), (76, 77), (76, 78), (76, 79), (76, 80), (76, 81), (76, 82), (76, 83), (76, 84), (76, 85), (76, 86), (76, 87), (76, 88), (76, 89), (76, 90), (77, 78), (77, 79), (77, 80), (77, 81), (77, 82), (77, 83), (77, 84), (77, 85), (77, 86), (77, 87), (77, 88), (77, 89), (77, 90), (78, 79), (78, 80), (78, 81), (78, 82), (78, 83), (78, 84), (78, 85), (78, 86), (78, 87), (78, 88), (78, 89), (78, 90), (79, 80), (79, 81), (79, 82), (79, 83), (79, 84), (79, 85), (79, 86), (79, 87), (79, 88), (79, 89), (79, 90), (80, 81), (80, 82), (80, 83), (80, 84), (80, 85), (80, 86), (80, 87), (80, 88), (80, 89), (80, 90), (81, 82), (81, 83), (81, 84), (81, 85), (81, 86), (81, 87), (81, 88), (81, 89), (81, 90), (82, 83), (82, 84), (82, 85), (82, 86), (82, 87), (82, 88), (82, 89), (82, 90), (83, 84), (83, 85), (83, 86), (83, 87), (83, 88), (83, 89), (83, 90), (84, 85), (84, 86), (84, 87), (84, 88), (84, 89), (84, 90), (85, 86), (85, 87), (85, 88), (85, 89), (85, 90), (86, 87), (86, 88), (86, 89), (86, 90), (87, 88), (87, 89), (87, 90), (88, 89), (88, 90), (89, 90)]

ebből kellene 28 db szelvényt kitölteni úgy, hogy az összes számpárt lefedje

Miért lesz így legalább két találatunk?

Végül ismertettem néhány lehetőséget az algoritmus vizsgálatára és az implementált Java forráskód tesztelésére.

Köszönöm Kupcsikné Fitus Ilona kolléganőnek, hogy a jubileumi Ratkó István emlékest szervezőjeként előadónak felkért. Örömmel csatlakoztam újra. A prezentációmat a résztvevőkkel megosztottam. Köszönöm az érdeklődő kollégáknak és hallgatóknak a részvételt és a pozitív visszajelzéseket. Az emlékestek programjai elérhetők. Ajánlom lottószelvény címkénket is, mert a téma igazi örökzöld.